Dalam kehidupan sehari-hari kita sering sekali mendengar bilangan yang sering digunakan saat berhitung, bahkan saat belajar Ilmu Matematika tak luput dari bilangan dimulai saat dari sekolah dasar yang dikenalkan bilangan asli (1, 2, 3…) dan bilangan bulat (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…).
Tapi pernahkah kita berpikir bilangan itu apa? dan bagaimana? Seperti kemunculannya dalam peradaban manusia dan kegunaanya dalam kehidupan sehari-hari sehingga kita sering menyebutnya baik saat menghitung uang, kebutuhan, ataupun barang.
Bilangan tersebut ada hal ini karena memang konsep-konsep lahir dari adanya kebutuhan manusia, munculnya sistem bilangan pun secara bertahap sesuai dengan kemajuan peradaban serta kebutuhan manusia.
Definisi Bilangan
Sederhananya, bilangan itu adalah apa yang menunjukan kuantitas (jumlah) dari sesuatu yang dihitung. Untuk memahami definisi di atas, bilangan itu merupakan gambaran banyaknya (kuantitas) sesuatu terhadap sesuatu yang dihitung (himpunan). Bilangan itu sendiri merupakan suatu konsep abstrak, keberadaanya secara fisik tidak ada, tapi hanya dapat dideteksi melalui pikiran atau disebut amr i’tibari fi ‘aqli atau juga disebut wujud dzihniy oleh para teolog.
Misalnya, ketika kita sedang jalan-jalan pada sore hari untuk menenangkan dan menyejukan pikiran. Saat di jalan, terdapat beberapa rumah. Kemudian, kita menghitungnya. Setelah kita hitung, terdapat tujuh rumah. Nah, yang dimaksud “tujuh” itulah bilangan sedangkan yang kita hitung itu “rumah”, artinya ketika sedang menghitung rumah maka kita sedang melakukan pembilangan (memberi nilai kuantitas terhadap suatu yang dihitung).
- Pernyataan: Saya Sedang melihat tujuh rumah saat jalan-jalan sore hari
- Bilangan: Tujuh
- Yang di Hitung: Rumah
Bilangan itu sendiri mafhum, sedangkan tujuh ialah mishdaq atau individu dari bilangan. Akan tetapi, mishdaq bilangan (tujuh) itu merupakan i’tibariyyah atau wujud dzihniy. Contoh bilangan dalam kehidupan sehari-hari atau di kenal bilangan asli (satu, dua, tiga, empat, lima…).
Untuk memudahkan lagi semisal ketika sedang di madrasah teman kita bertanya “Ada berapa banyak buku yang dipinjam di perpustakaan?” Lalu kita jawab “Ada empat buku yakni buku ushul fikih, tasawuf, matematika, dan novel“. Dari kisah tersebut ketika teman yang bertanya berapa banyak? Maka dia sedang menanyakan suatu nilai (apa yang kita pinjam) dengan kuantitas (jumlah dari yang dipinjam). Jadi, bilangan itu selalu berkaitan dengan nilai dan kuantitas dari nilai.
Bilangan dalam matematika merupakan konsep yang sangat penting digunakan untuk pencacahan (atau sering juga dipahami dengan perhitungan) dan pengukuran.
Adapun simbol atau juga disebut lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut angka, seperti bilangan “tujuh” dilambangkan dengan “7”. Bilangan dibedakan antara nilai dan lambangnya.
- “Tujuh” itu bilangan.
- “7” itu angka yang mewakili simbol dari bilangan tujuh.
Selama beberapa abad, bilangan mengalami perkembangan sehingga konsep bilangan meluas, meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Mulanya ketika manusia melihat alam semesta ini hanya mengenal bilangan asli (1, 2, 3…). Kemudian, pada perkembangan selanjutnya, konsep bilangan pun bertambah seperti bilangan negatif yang ada karena kasus pengurangan atau penghilangan.
Perlu kita ketahui, dalam ilmu matematika, bilangan suatu hal yang penting. Karena matematika tidak akan lepas dari bilangan. Dari bilangan maka terdapat juga sistem bilangan yang dapat diartikan sebagai himpunan dari bilangan-bilangan, beserta sifat operasi yang berlaku di dalamnya. Seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya.
Bilangan dan Angka
Dalam kehidupan sehari-hari, ada beberapa dari kita tidak bisa membedakan mengenai istilah bilangan dan angka. Penggunaan istilah bilangan dan angka kerap diartikan sama maknanya. Padahal, dari kedua istilah tersebut memiliki makna yang berbeda. Jadi, angka suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan.
Contoh, bilangan lima dilambangkan dengan 5 (sistem angka berbasis 10) yang digunakan untuk melambangkan bilangan 5 disebut sebagai angka. Di satu sisi, bilangan bisa juga dilambangkan dari abjad seperti bilangan tiga yang dilambangkan dengan huruf jim (ج). Akan tetapi, bilangan di sini diambil dari abjad, bukan angka untuk melambangkan bilangan. Ini disebut dengan sistem bilangan abjad. Sistem ini merupakan sistem bilangan yang menggunakan dua puluh delapan abjad Arab untuk melambangkan nilai-nilai numerik dari bilangan. Sistem ini telah digunakan oleh orang Arab sejak abad delapan sebelum digunakannya angka Arab yang kita kenal sekarang.
Jenis Bilangan
Dalam sistem bilangan terdapat berbagai jenis bilangan, meliputi: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks.
Bilangan Asli
Bilangan yang pertama kali muncul dalam peradaban manusia adalah bilangan asli. Berawal dari kebutuhan manusia untuk membilang (menghitung). Walaupun manusia belum mengenal istilah bilangan, akan tetapi pada suatu saat ketika melihat alam sekitar terdapat banyak benda maka membutuhkan “sesuatu” yang dapat menandai adanya jumlah atau kuantitas suatu benda yaitu dengan membilang.
Bilangan asli memiliki asal kata yang digunakan untuk menghitung benda atau sesuatu yang di dari bilangan satu, dalam proses membilang tentu diawali dari 1, 2, 4, 5, dan seterusnya.
Himpunan bilangan asli adalah bilangan yang lebih besar dari 0 (nol). Ini dinotasikan dengan N berasal dari kata natural number dari bahasa Inggris. Karena perkembangan ilmu matematika dan beberapa abad silam dipegang oleh bangsa Barat, sehingga saat penyebaran internasional sekaligus agar universal dalam sistem dan pelambangan digunakanlah tradisi ilmuwan Barat.
Jadi, himpunan bilangan asli dimulai dari angka 1 dan bertambah 1 atau himpunan bilangan bulat positif yang tidak termasuk 0. Jadi, himpunan dari bilangan asli yakni N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
Bilangan asli memiliki setidaknya ada dua tujuan, yakni untuk menghitung (cardinal number) dan menyatakan tingkatan (ordinal number).
Bilangan Cacah
Jika dalam himpunan asli ditambahkan dengan nol, maka inilah yang disebut bilangan cacah yakni: N + {0} = {1, 2, 3, 4,…}.
Bilangan cacah itu merupakan himpunan bilangan bulat yang tidak negatif atau himpunan bilangan asli ditambah nol. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif. Bilangan cacah ini diberi notasi dengan W atau disebut whole numbers. Dapat dinyatakan: W = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.
Bilangan 0 adalah suatu angka dan digit angka yang digunakan untuk mewakili angka dalam angka. Angka nol berperan penting dalam matematika sebagai tambahan identitas bilangan bulat, real, dan struktur aljabar lainnya. Sebagai angka yang memiliki peranan, nol digunakan sebagai tempat dalam sistem nilai tempat.
Seorang tokoh ilmuwan Islam pada masa kekhalifahan Abbasiyah, yakni Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, meneliti sistem perhitungan Hindu (al-hisab al-hindi) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Al-khawarizmi lah orang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.
Bilangan Bulat
Setiap kali kita melihat termometer, terdapat bilangan kurang dari nol tentu itu adalah bilangan negatif. Yang menyatakan suhu di daerah tersebut sedang mencapai titik ekstrem dingin. Semisal di wilayah kutub, rata-rata suhu 20° yang di bawah 0° dinyatakan dengan -20°. Dalam ekonomi, khususnya masalah keuangan untuk menyatakan kita sedang mengalami kerugian sebesar Rp. 200,000,00 maka dinyatakan -Rp.200,000.00.
Tentu, di sana dapat kita ketahui bahwa dalam membilang ternyata tidak hanya bilangan asli dan cacah yang menjadi bagian dari bilangan, tapi lebih luas lagi. Ada bilangan lain yakni bilangan lawan dari bilangan asli atau disebut dengan istilah bilangan negatif. Maka, dari itu terdapat himpunan dari bilangan asli, cacah, dan lawan bilangan asli atau negatif yang ini disebut dengan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z (Zahlen, German of number). Sederhananya Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Disebut bilangan bulat karena ia dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Dalam bilangan bulat dikatakan positif jika lebih besar dari 0, dikatakan negatif jika lebih kecil dari 0. Sedangkan bilangan 0 digunakan sebagai nilai tempat pada sistem angka, sehingga dapat membedakan bilangan 4, 41, 40, dan 401. Dalam pengunannanya bilangan bulat sangat berperan dalam berbagai keilmuan terutama fisika untuk pengukuran seperti suhu, massa, waktu, jarak, dan lainnya. Dalam ekonomi juga yang digunakan menghitung untung dan rugi.
Bilangan Rasional
Bilangan rasional merupakan bilangan yang bisa diubah menjadi pecahan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat (Z) serta b ≠ 0 (dengan syarat b tidak boleh sama dengan 0). Dari hal tersebut, a disebut pembilang dan b sebagai penyebut, serta bilangan rasional diberi notasi dengan Q (Quotient). Secara sederhana Q = {a/b| a,b, ∈Z, b≠0}. Kalau dalam bahasa sehari-hari, mudahnya dipahami bilangan rasional seperti bentuk pecahan 1/2.
Kalau dihasilkan menjadi desimal 0,5 maka 1 itu adalah pembilang dan 2 itulah penyebut akan tetapi penyebut itu tidak boleh bilangan nol harus selain itu entah bilangan positif maupun negatif. Alasannya, Jika suatu bilangan pecahan atau rasional memiliki penyebut 0, seperti 1/0; 2/0; 10/0; dan lainnya, maka bilangan pecahan atau rasional tersebut tidak terdefinisikan.
Sedangkan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan seperti {a/b| a,b, ∈Z, b≠0}. Maka, inilah disebut bilangan irasional yang dinotasilan Q’ seperti bilangan √2, π(pi), dan e yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan. Contohnya bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818… kita ubah kebentuk pecahan menjadi e/2 atau 2,7182818… /2. Di sana kita akan kesusahan karena tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Namun dari bilangan irasional terdapat berbentuk akar, tetapi tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Misalnya: √4 dan √9. Nilai dari √4 adalah 2 dan √9 adalah 3 yang merupakan bilangan bulat.
Perlu diingat bahwa ketika mendengar bilangan rasional, yang dimaksud itu mencangkup beberapa bilangan, yakni: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, serta bilangan lain yang menjadi himpunan bagian dari bilangan rasional.
Bilangan Real
Disebut juga bilangan nyata merupakan bilangan gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional yang dinotasikan dengan R. Ini terdiri atas bilangan rasional (Q) dan irasional (Q’). Orang yang pertama kali dalam penggunaan istilah real itu adalah René Descartes, Filusuf Prancis Abad 17, yang bertujuan untuk membedakan akar fungsi real dan imajiner dari polinomial. Bilangan real ini digunakan dalam fisika untuk mengukur kuantitas dimensi satu yang kontinu seperti jarak, durasi, ataupun suhu, serta dipakai juga dalam ilmu logika. Jika kita mendengar ada bilangan real, apakah ada bilangan yang bukan real (unreal)? Jawabannya ada, yakni bilangan imajiner, seperti i= √-1. Bilangan ini umumnya banyak digunakan pada bilangan kompleks. Dari pemaparan beberapa jenis bilangan mungkin kepala kita sudah terasa pening mengingat yang kita bicarakan adalah hal yang abstrak, selanjutnya bilangan tertinggi yakni bilangan kompleks yang lebih rumit.
Bilangan Kompleks
Adalah bilangan yang terdiri dari bilangan real (R) dan bilangan imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai penjumlahan, selisih, atau hasil kali dari dua bilangan real dan imajiner. Contohnya, bilangan kompleks dilambangkan dengan a + ib, dengan a dan b merupakan bilangan real atau a, b ∈R dan i ∈ bilangan imajiner.
Bilangan kompleks ini digunakan dalam bidang digital kebanyakan, khususnya dalam pemrosesan signal. Dalam bidang fisika, bilangan kompleks sangat penting untuk dipelajari khususnya dalam sebuah vektor yang mempunyai besaran dan arah. Juga, dalam penerapannya di mekanika kuantum, bilangan kompleks ini sangat berguna untuk menentukan kaidah komuntasi. Lebih lanjut lagi pembahasan yang akan lebih mendalam pada kesempatan lain.
Perlu dicatat, salah satu kunci memahami matematika adalah dengan memahami gaya bahasa matematika. Itu juga kunci memudahkan.
Wallahu a’lam
